Нетрадиционные примеры задачи 18 для ЕГЭ Информатика в трехмерном пространстве R^3 и R^2

1. В R^3 определены следующие множества :-

S = {(x,y,z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 <= 1}
Q = {(x,y,z) ∈ R^3 : (|x| <= 1) && (|y| <=1) && (|z| <= 1) }
P = { (x,y,z) ∈ R^3 : 1 < x^2 + y^2 + z^2 <=9 }

Каков максимальный объем области А такой что
             (((x,y,z) ∈ Q) => ( (x,y,z) !∈ S) ^((x,y,z) ∈ A)^((x,y,z) !∈P) is False
для всех (x,y,z) ∈ R^3 ( !∈ означает не принадлежит)

Решение :-

X=(x,y,z)

((X ∈ Q) => ( X !∈ S)) ^(X ∈ A)^(X !∈P)  = 0

Отрицаем обе части тождества

¬(((X ∈ Q) => (X !∈ S)) ^ A ^ (X !∈ P)) = 1
¬(((X !∈ Q)v(X !∈ S)) ^ A ^ (X !∈ P)) = 1
  ((X ∈ Q)^(X ∈ S)) v (X ∈ P) v ¬A  = 1

Условия Теоремы 2 из статьи К.Ю.Поляков Множества и логика в задачах ЕГЭ выполнены
A(max) = ((X ∈ Q)^(X ∈ S)) v (X ∈ P)
A есть шар радиуса 3 => V(A) = (4/3)*pi*27

*********************************************************************************
Комплексная ЕГЭ Проверка знания алгебры логики, теории множеств и умения вычислять несобственные интегралы ;)
*********************************************************************************
2. В R^2 определены следующие множества :-

S = {(x,y)  ∈ R^2 : y >= x^2 }
Q = {(x,y)  ∈ R^2 : 0 =< y =< 2/(1 + x^2) }
P = {(x,y)  ∈ R^2 : |x| >= 1 && 0 =< y =< 2/(1 + x^2) }

Какова максимальная плошадь области А такой что
             (((x,y) ∈ Q) => ( (x,y) !∈ S) ^((x,y) ∈ A)^((x,y) !∈P) is False
для всех (x,y) ∈ R^2 ( !∈ означает не принадлежит)

A(max) = (((x,y) ∈ Q)^((x,y) ∈ S)) v ((x,y) ∈ P) 

Поскольку

S=2*PI - (2/3)

3. В R^2 определены следующие множества :-
    Q = { (x,y) ∈ R^2 : |x| + |y| <= 2^(1/2) }
    P = { (x,y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 <= 1 }
Определить наибольшую площадь области А такой, что
    X= (x,y)
   ((X ∈ P) => (X ∈ A))^((x ∈ A) => (X∈ Q))
Тождественно истинно для всех (х,у) ∈ R^2

   ((X ∈ P) => (X ∈ A))^((x ∈ A) => (X∈ Q))
   
   Getting System

   ¬P v A = 1 (1)
   ¬A v Q =1  (2)

    A(min) = P ;  A(max) = Q
    Поскольку Р ⊂ Q то A(max) = Q 
    S(Q) = 2*2 = 4

*********************************************************
Пространственная версия той же задачи
*********************************************************
4. В R^3 определены следующие множества :-
    Q = { (x,y,z) ∈ R^3 : |x| + |y| + |z| <= 3^(1/2) }
    P = { (x,y,z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 <= 1 }
Определить наибольший объем области А такой, что
    X= (x,y,z)
   ((X ∈ P) => (X ∈ A))^((x ∈ A) => (X∈ Q))
Тождественно истинно для всех (х,у,z) ∈ R^3

((X ∈ P) => (X ∈ A))^((x ∈ A) => (X∈ Q))
   
   Getting same System of Boolean equations:-
   ¬P v A = 1 (1)
   ¬A v Q =1  (2)
    A(min) = P ;  A(max) = Q
    Поскольку Р ⊂ Q то A(max) = Q

V(A(max)) =8*((1/3)*3^(1/2)*(3/2)) = 8*(1/2)*3^(1/2)=4*3^(1/2)

5.В R^3 заданы следующие множества :-

P={(x,y,z)∈ R^3 : x ∈ [35,55] && y^2+z^2 <= 9 }
Q={(x,y,z)∈ R^3 : x ∈ [45,65] && y^2+z^2 <= 25 }

Определить наименьший объем А :-
  (x ∈ P) => (x ∈ A)
  (x !∈ A) => (x !∈ Q)  

    6.В R^3 заданы 2 множества
         P= {(x,y,z) ∈ R^3 : x ∈ [-∞;+∞] && y^2+z^2 <= R^2 }
         Q= {(x,y,z) ∈ R^3 : y ∈ [-∞;+∞] && x^2+z^2 <= R^2 }
     Укажите наименьший возможный объем A, что формула
          X=(x,y,z)
         (X ∈ P)=>(((X ∈ Q)∧(X ∉ A))=>(X ∉ P))
      тождественно истинна, то есть принимает значение 1
      при любом значении переменной X ∈ R^3  

      ¬P v ¬((X ∈ Q)∧(X ∉ A)) v ¬P =1
      ¬Q v A v ¬P = 1
      A(min) = ¬(¬Q v ¬P) = Q^P

     

   

Использован принцип Кавальери для расчета элементарными
средствами объема подушки.(смотри документ)

Сопоставим сечения общей части двух одинаковых цилиндров ("подушка")
и шара радиуса R с центром в точке пересечения осей цилиндров параллельными плоскостями, изображенными на рисунке (плоскости параллельны осям цилиндров). Сечение подушки есть квадрат, описанный вокруг сечения сферы (окружности). Отношение площадей сечений постоянное 4/PI ,которое равно отношению объемов рассматриваемых тел

  V(A(min))=(4/3)*PI*R^3 * (4/PI) = (16/3)*R^3

Тем самым мы избегаем выкладки

 

7. В R^3 заданы 2 множества

  P= {(x,y,z) ∈ R^3 :  z + tg(alpha)*x <= 0 }
  Q= {(x,y,z) ∈ R^3 :  z ∈ [0;+∞] && x^2+y^2 <= R^2}
Укажите наименьший возможный объем A, что формула
   X=(x,y,z)
   (X ∈ P)=>(((X ∈ Q)∧(X ∉ A))=>(X ∉ P))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1
при любом значении переменной X ∈ R^3 

 ¬P v ¬((X ∈ Q)∧(X ∉ A)) v ¬P =1
 ¬Q v A v ¬P = 1
 A(min) = ¬(¬Qv¬P) = Q^P

  
  

Проведем плоскость через центр основания О прямого кругового цилиндра радиуса R под углом "alpha" к плоскости основания. Найдем объём части цилиндра - "копыта". Пусть центр системы координат расположен в центре основания цилиндра, ось "z" это ось цилиндра, ось "y" проходит вдоль линии пересечения секущей плоскости и основания цилиндра. Высота копыта (вдоль оси z) Н=R*tg(alpha). Рассмотрим сечение тела плоскостями,

параллельными плоскости x0z, И удаленными от неё на расстояние "y" сопоставим сечения "копыта" и "сферической дольки", высеченной из шара радиуса R двугранным углом и с ребром,проходящим параллельно оси "у" через 0. Сечение "копыта" это прямоугольный треугольник с углом "аlpha". Сечение сферы - это сектор круга, вписанный в сечение "копыта".

Отношение площадей сечений постоянное (Принцип Кавальери)

    S1/S2=((R^2-y^2)*tg(alpha))/(R^2-y^2)*alpha = tg(alpha)/alpha

Следовательно , отношение объемов копыта и сферической дольки также равно tg(alpha)/alpha. Объем сферической дольки V1=(2/3)*alpha*R^3

Объем цилиндрического копыта

V2= (2/3)*alpha*R^3*(tg(alpha)/alpha) = (2/3)*tg(alpha)*R^3.

Ответ:  V(A(min))=(2/3)*tg(alpha)*R^3

========
Ссылки :
========
1. Принцип Кавальери